LaTeX 解答生成・検査パイプライン

実行日時: 2026-09-29T16:39:49（ID: 20260929-163949-8127e7） ← 履歴一覧に戻る

¥begin{enumerate}  
¥item 四面体$ABCD$がある。$AB=CD=4$、$AC=BD=5$、$AD=BC=6$であるとき、この四面体の体積を求めよ。%$¥dfrac{5¥sqrt{42}}{4}$
¥begin{flushright}
	$ ¥langle 初等幾何 ¥rangle $
¥end{flushright}
¥vspace{17ZW}

¥item $a,b,c$が、$a+b+c=1~,~a^2+b^2+c^2=3~,~¥dfrac{1}{a}+¥dfrac{1}{b}+¥dfrac{1}{c} = 1$を満たすとき、$¥dfrac{1}{a^2}+¥dfrac{1}{b^2}+¥dfrac{1}{c^2}$の値を求めよ。%$3$
¥begin{flushright}
	$ ¥langle きれいな形 ¥rangle $
¥end{flushright}
¥vspace{17ZW}

¥item $3x+2y=5$のとき、$¥sqrt{3x}+¥sqrt{2y}$の最大値を求めよ。ただし、$x ¥geqq 0$、$y ¥geqq 0$とする。（複数の解法があります）% $x=¥dfrac{5}{6},y=¥dfrac{5}{4}$のとき、$¥sqrt{10}$
¥begin{flushright}
	$ ¥langle 有名不等式　¥rangle $
¥end{flushright}
¥vspace{24ZW}

¥item 正四面体$ABCD$において、辺$AB$の中点を$E$、辺$BC$の中点を$F$、辺$CD$の中点を$G$、辺$AD$の中点を$H$とします。これら$4$点を結んでできる四角形の面積が$18$であるとき、この正四面体の体積を求めよ。%$72$
¥begin{flushright}
	$ ¥langle 初等幾何 ¥rangle $
¥end{flushright}



¥end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{5\sqrt{42}}{4}$
\item $3$
\item 最大値は$\sqrt{10}$。等号成立は$x=\dfrac{5}{6}$、$y=\dfrac{5}{4}$のとき。
\item $72$
\end{enumerate}

- 問1の答え($\dfrac{5\sqrt{42}}{4}$)は誤りです。四面体を直方体に埋め込む方法(または三平方の定理・ケーリー・メンガー行列式)で計算すると、正しい体積は$\dfrac{15\sqrt{6}}{4}$になります。

  検証:$AB=CD=p=4,\ AC=BD=q=5,\ AD=BC=r=6$として、直方体の辺$x,y,z$を
  $x^2=\dfrac{p^2+q^2-r^2}{2}=\dfrac{5}{2}$、$y^2=\dfrac{p^2+r^2-q^2}{2}=\dfrac{27}{2}$、$z^2=\dfrac{q^2+r^2-p^2}{2}=\dfrac{45}{2}$
  とおくと、四面体の体積は$V=\dfrac{1}{3}xyz=\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{27}{2}\cdot\dfrac{45}{2}}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{45\sqrt6}{4}=\dfrac{15\sqrt6}{4}$となり、座標を用いた直接計算でも同じ値が得られることを確認しました。

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{15\sqrt{6}}{4}$
\item $3$
\item 最大値は$\sqrt{10}$。等号成立は$x=\dfrac{5}{6}$、$y=\dfrac{5}{4}$のとき。
\item $72$
\end{enumerate}